ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN
Thời gian: 180 phút

Bài 1(4đ): Cho hàm đa thức f(x) bậc 7 có các hệ số nguyên thoả mãn: f(2)=13, f(4)=7, f(10)=5. CMR: Phương trình f(x)=0 không có nghiệm nguyên.

Bài2(4đ): Giải phương trình: f(x)=0 . Biết hàm số f(x) nghịch biến trên R và thoả mãn f(2f(y)-3x)=4x + 5y + 1 với
x, y
R.

Bài 3(4đ): Cho các số dương a,b,c,d thoả mãn: a + b + c + d = 9
CMR:


Bài 4(4đ): Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. M là điểm chuyển động trên đường tròn. Gọi

CMR:
không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

Bài 5(4đ): Cho hình chóp SABCD, đáy là hình vuông ABCD. Hình chiếu H của S lên mặt phẳng đáy nằm miền trong hình vuông ABCD. Các góc nhị diện SA, SB bằng nhau, SAB=SBC. Tìm tập hợp những điểm cách đều các mặt bên của hình chóp.

------------- Hết ------------

ĐÁP ÁN

Bài
Nội dung
Điểm

Bài 1
Đặt P(x)=(x-2)Q(x)+13
Trong đó Q(x) là đa thức bậc 6 với hệ số nguyên
0,5

4đ
Giả sử P(x)=0 có nghiệm nguyên x=a
1




1




0,5


Tương tự: *)

0,5







 *)

0,5







Từ (1), (2), (3) ta suy ra không tồn tại a nguyên thoả mãn yêu cầu bài toán
1


Hay phương trình f(x)=0 không có nghiệm nguyên.


Bài 2 4đ
Xác định phương trình hàm:
f(2f(y)-3x)=4x+5y+1
(1)
0,5


Thay x=
vào (1) ta được:




Thay x=0,y=0 vào (1) ta được: f(2f(0))=1 (3)
0,5


Từ giả thiết f(x) nghịch biến trên R và từ (2) và (3) suy ra:


1


Thay
vào (1) ta được


0,5



thử lại thấy thoả mãn yêu cầu bài toán
0,5


Khi đó f(x)=0

0,5

Bài 3 3đ
Nhận xét hàm số y=ax (01





0.25


0,25


0,25


0,25


Từ (1), (2), (3), (4) ta suy ra

1

Bài 4 5đ
Dựng



Tương tự:








1




Bài toán chuyển thành: CMR tổng MA4+MB4+MC4 = hằng số.
Thật vậy: Chọn hệ trục toạ độ vuông góc, với A là gốc toạ độ, trục hoành chứa AO và chiều dương từ A tới O (hình vẽ).
Dễ thấy






1


Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình: (x-R)2+y2=R2
Giả sử M(x0,y0) thì (x0-R)2+y02=R2
Hay x02+y02=2Rx0 (1)




Ta có:







1




(vì
)











0.5





0.5

Bài 5
4 đ
Trước hết ta chứng minh bổ đề:
Trong tam diện Oxyz
Thì

(Ox, Oy, Oz lần lượt là góc nhị diện canh Ox, Oy, Oz)






0,5


Thật vậy: lấy A thuộc Ox
Dựng

Trên yOz kẻ
,

Suy ra: ABH=Oy, ACH=Oz
Suy ra

chứng minh tương tự ta có đẳng thức (1) (Bổ đề được chứng minh)




0,5


Áp dụng vào tứ diện đỉnh A