TÌM LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, GTLN – GTNN NHỜ DỰ ĐOÁN DẤU BẰNG
Các em h/s và các bạn thân mến, trong các đề thi TSĐH thường có một câu V là câu khó (để chọn các cao thủ võ lâm) câu này những năm gần đây thường cho dưới dạng các bài toán BĐT. Và thường thì các sĩ tử không biết bắt đầu từ đâu để giải quyết nó. Bài viết này tôi sẽ truyền đạt cho các bạn một “tuyệt chiêu” võ công độc đáo (chỉ cần một chiêu thôi). Sau khi học được “tuyệt chiêu” này các bạn sẽ thấy các vấn đề trở nên rất đơn giản.
Để lĩnh hội được “tuyệt chiêu” mà tôi tổng hợp từ vô số các chiêu thức của các môn phái khác thì trước tiên các bạn phải nắm được một số “chiêu thức” cơ bản đã.
1. Bất Đẳng thức Côsi (các chiêu này xem trong “Đại số 10”)
Bất Đẳng thức Cauchy cho 2 số :
Cho 2 số a, b
0 .Khi đó: a + b
2
. Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b.
Bất Đẳng thức Cauchy cho 3 số :
Cho 3 số a, b, c
0 . Khi đó ta có: a + b + c
3
. Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Nhận dạng:
+ Tìm nhỏ nhất của tổng khi biết tích.
+ Tìm lớn nhất của tích khi biết tổng, tổng bình phương.
+ Chứng minh tổng lớn hơn tích, tích chia tổng (tổng bình phương, . . .)
+ Dùng nhập các tổng, tổng nghịch đảo, . . . thành một.
Các BĐT cơ bản liên quan hay dùng :
a2 + b2
2ab.
a2 + b2 + c2
ab + ac + bc .Dấu ‘=’ khi a = b = c.
a2 + b2 + c2

(a + b + c)2
ab + ac + bc . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c.
Với a, b > 0. Ta có : (a + b)(
)
4 . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b
(hay :


)
Với a, b, c > 0. Ta có : (a + b + c)(
)
9 . Dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c (hay :
) .
Ý nghĩa của các bất đẳng thức 4, 5 là cho phép ta nhập các phân số thành một do đó rất thuận lợi cho việc xét hàm với một ẩn.
2. Bất Đẳng Thức Bunhiacopxki –BĐT Trị Tuyệt Đối :
Trong chương trình thi Đại Học chúng ta chỉ được áp dụng BĐT Cauchy cho 2 và 3 số không âm và bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 cặp số.




Dấu ‘=’ xảy ra khi
(Nếu bỏ dấu
thì cần thêm
0 nữa)

b. Nhận dạng:
+ Tổng các cặp số có tích không đổi.
+ Tổng bình phương bằng một số không đổi.
c. Ứng dụng
+ Nhập các tổng bình phương thành một.
3. Khảo sát hàm số
Trên đây là các vấn đề mà Đại Hội Anh Hùng thường ra để chọn cao thủ. Hi vọng các sĩ tử nắm được các chiêu thức cơ bản này để lĩnh hội cho tốt.
Khi tìm GTNN, GTLN các em thường mắc phải sai lầm phổ biến trong việc tìm giá trị của biến tại các điểm đạt max, min đó là : thực hiện liên tiếp nhiều bước đánh giá nhưng dấu ‘=’ tại mỗi bước là không như nhau do đó không có dấu ‘=’ để xảy ra đẳng thức cuối. Xét bài toán:
Tìm GTLN của f(x) = sin5x +
cosx, có bạn đã giải như sau:
Chỉ cần xét trong x
[0 ;
].Ta có:sin5x
sinx suy ra : f(x)
sinx +
cosx
Mặt khác : sinx +
cosx = 2sin(x +
)
.
Vậy f(x)max = 2.
Nhận xét : bài giải trên sai (bài giải đúng xem ở dưới) do đã vướng sai lầm trong tìm dấu ‘=’. f(x) không thể đạt giá trị bằng 2 được vì để tới BĐT cuối chúng ta đã thực hiện 2 phép biến đổi :
+ lần 1: sin5x
sinx ; dấu ‘=’ khi x = 0,
/2.
+ lần 2: 2sin(x +
)
; dấu ‘=’ khi x=

Như vậy, khi thực hiện mỗi bước biến đổi ta thường tự đặt ra câu hỏi:
+ Khi thực hiện các bước biến đổi như vậy thì liệu dấu ‘=’ có đạt được ở bước cuối cùng không ?
+ Đánh giá như thế nào để có thể đưa về vế còn lại được hay không ?
Mặc dù bài toán có thể thực hiện liên tiếp nhiều bước biến đổi nhưng để dấu